Wolfram Mathematica | Математика - [5] :: Программы :: Компьютерный форум Ru.Board

popkov

При чтении вашего первого замечания я подумал, что вы прикидывайтесь, но при чтении второго вашего замечания, я понял, что вы на самом деле не понимаете. Поэтому отвечу несколько пространнее.

Прежде всего, мы должны различать точность представления числа и величину ошибки метода получения какого-то результата по сравнению с действительным значением. Для краткости первую величину будем называть точностью числа, а вторую величину – точностью результата (данного метода). Когда вы пользуетесь такими функциями, как Precision или Accuracy, вы получаете точность числа. Точность же результата Математика, как правило, не контролирует. Например, вам нужно вычислить, чему равна функция f1[x]

f1[x_] := Cos[1] - (Sin[1 + x] - Sin[1 - x])/(2 x);

при h = 10^-12. Число, которое вы в результате получайте, будет всегда представлено с машинной точностью. Но это не значит, что результат, который вы хотите получить, имеет точность даже близкую к машинной. В конкретном случае получаем результат с большой ошибкой.

f1[10^-12] // N
0.0000122709

вместо нуля, хотя полученное число имеет машинную точность.

Теперь попробуем другой метод получения того же результата. Аналитически преобразуем правую часть определения функции f1 и получим ту же самую функцию, но выраженную иначе.

f2[x_] := (Cos[1] (x - Sin[x]))/x;

которая дает правильный результат с машинной точностью.

f2[10^-12] // N
0.

Цитата:

И как это соотносится с тем, что вы писали ранее?

Очень хорошо согласуется. Математика не заявляет, что точность полученного числа = точность ошибки метода.

Цитата:

при этом в расчётах по умолчанию PrecisionGoal = 1/2*WorkingPrecision

И что из этого? Математика не заявляет, что PrecisionGoal всегда будет достигнута.

Цитата:

AccuracyGoal = Infinity

Это значит, что AccuracyGoal не принимается в расчет, принимается в расчет только PrecisionGoal.

Цитата:

Если Mathematica по какой-то причине достичь заданной точности не может, она должна выдать предупреждение как минимум!

И тут мы возвращаемся к нашей задаче бесконечного числового суммирования. Ошибка результата метода бесконечного суммирования в основном зависит от делаемой этим методом оценки бесконечного числа отбрасываемых слагаемых, чтобы при этом конечная сумма давала желаемую точность всей бесконечной суммы. Апроксимации могут только приблизительно оценить ошибку, т.к. точного результата Математика не знает. Поэтому Математика не знает, когда она достигает заданной точности, а когда нет. При этом различные методы суммирования дают различные оценки. Однако Математика дает общее предупреждение, что PrecisionGoal это только задача, над достижением которой Математика начинает работать, но это не значит, что она ее обязательно достигнет в каждом конкретном случае. По крайней мере, такие реалии на сегодняшний день.

Теперь о вашем втором замечании.

Цитата:

Цитата:Хорошая точность первого числового суммирования (по сравнению со вторым) объясняется тем, что в первом случае мы имеем знакопеременный ряд, а во втором – нет. Так что к своей сумме первый ряд приближается с двух сторон, и по малому числу слагаемых мы можем довольно точно предсказать результат.

Смысл этой фразы - что первый ряд сходится быстрее, поскольку "к своей сумме первый ряд приближается с двух сторон, и по малому числу слагаемых мы можем довольно точно предсказать результат". Или я совсем разучился понимать русский язык?

Мне кажется, вы просто не внимательно читаете. Придется себя цитировать. С самого начала при постановке проблемы я сказал:

Цитата:

При этом обращают внимание на такое обстоятельство, что числовое суммирование первого ряда дает значение близкое к точному, хотя ряд сходится медленнее, чем во второй случае.

Одно дело – сходимость ряда, т.е. скорость приближения частных сумм к своему пределу, а другое дело – возможность точно оценить ошибку того или иного метода суммирования. Поскольку первый ряд незнакопостоянный, его частные суммы аппроксимируют точное значение с двух сторон. Во втором же случае частные суммы дают оценку только снизу. Это обстоятельство объясняет успешность Математики стандартным методом вычислить первую сумму и возникновение трудностей при вычислении второй суммы.

Другие сообщения об ошибках Математики рассмотрю позже.

Модерирует : gyra, Maz
Версия для печати • Подписаться • Добавить в закладки
Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57